Der vollständige Induktionsbeweis mit Determinanten besteht aus zwei Schritten: der Induktionsannahme und dem Induktionsschritt. In der Induktionsannahme zeigt man, dass die Aussage für den kleinsten Fall (meistens n=1) gilt. Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Aussage für ein beliebiges aber festes n gilt und zeigt dann, dass sie auch für n+1 gilt. Dabei verwendet man die Eigenschaften der Determinanten, wie zum Beispiel die Linearität in den Zeilen oder Spalten, um die Behauptung für n+1 zu beweisen. **

Um den vollständigen Induktionsbeweis durchzuführen, müssen wir zwei Schritte zeigen: 1. Basisfall: Zeige, dass die Aussage für den kleinsten Wert der natürlichen Zahlen gilt. 2. Induktionsschritt: Zeige, dass wenn die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n gilt, sie auch für n+1 gilt. Durch diese beiden Schritte können wir die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen beweisen. **

Um die Zahl 16 per vollständiger Induktion zu beweisen, müssen wir zwei Schritte durchführen. Zuerst zeigen wir, dass die Aussage für den Basisfall, also für n=1, wahr ist. In diesem Fall ist 16=16, also ist die Aussage wahr. Dann nehmen wir an, dass die Aussage für ein beliebiges aber festes n wahr ist und zeigen, dass sie dann auch für n+1 wahr ist. Also nehmen wir an, dass 16n+16=16(n+1) wahr ist und zeigen, dass 16(n+1)+16=16(n+2) ebenfalls wahr ist. Durch Umformungen sehen wir, dass dies der Fall ist, und somit ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen n wahr. **

Um den vollständigen Induktionsbeweis für die Zahl 5 zu führen, müssen wir zwei Schritte durchführen. Schritt 1: Basisschritt: Wir zeigen, dass die Aussage für die kleinste Zahl, also 1, wahr ist. In diesem Fall ist die Aussage 1 = 5 erfüllt. Schritt 2: Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Aussage für eine beliebige Zahl k wahr ist und zeigen, dass sie dann auch für die nächste Zahl k+1 wahr ist. Angenommen, die Aussage k = 5 ist wahr. Dann können wir zeigen, dass die Aussage k+1 = 5 auch wahr ist, indem wir beide Seiten der Gleichung mit 1 addieren. Da wir sowohl den Basisschritt als auch den Induktionsschritt durchgeführt haben, **

Der vollständige Induktionsbeweis für die Zahl 24 lautet wie folgt: 1. Basisfall: Zeige, dass die Aussage für n = 1 gilt. In diesem Fall ist 24 = 24, was offensichtlich wahr ist. 2. Induktionsannahme: Nehmen wir an, die Aussage gilt für ein beliebiges aber festes n = k. 3. Induktionsschritt: Zeige, dass die Aussage auch für n = k + 1 gilt. Wir wissen, dass 24 = 2 * 12 = 2 * (k + 1), da die Aussage für n = k gilt. Somit ist die Aussage auch für n = k + 1 wahr. Da die Aussage für den Basisfall und den Induktionsschritt gilt, folgt aus dem Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage **

Um den vollständigen Induktionsbeweis für die Zahl 21 durchzuführen, müssen wir zunächst die Basis zeigen, dass die Aussage für n=1 wahr ist. In diesem Fall ist 21 durch 3 teilbar, da 21 = 3 * 7. Als nächstes nehmen wir an, dass die Aussage für ein beliebiges k wahr ist und zeigen, dass sie dann auch für k+1 wahr ist. Angenommen, 21k ist durch 3 teilbar, dann ist auch 21k + 21 = 21(k+1) durch 3 teilbar, da 21 durch 3 teilbar ist. Da wir sowohl die Basis als auch den Induktionsschritt gezeigt haben, ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen n größer oder gleich 1 wahr. **

Um den vollständigen Induktionsbeweis für die Zahl 13 durchzuführen, müssen wir zunächst die Basisbehauptung überprüfen, dass die Aussage für n=1 wahr ist. In diesem Fall ist 13 eine Primzahl, also ist die Basisbehauptung wahr. Als nächstes nehmen wir an, dass die Aussage für ein beliebiges aber festes n wahr ist und zeigen, dass sie dann auch für n+1 wahr ist. Wenn die Aussage für n wahr ist, dann ist 13n+1 ebenfalls eine Primzahl, da es keine Teiler außer 1 und sich selbst hat. Da die Basisbehauptung wahr ist und die Induktionsannahme für n wahr ist, folgt aus dem Induktionsschritt, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen n wahr ist. Daher ist der vollständige **

Der vollständige Induktionsbeweis für die Ungleichung 2 besteht aus zwei Schritten: 1. Basisschritt: Zeige, dass die Ungleichung für den kleinsten Wert der betrachteten Menge gilt, in der Regel für n=1. 2. Induktionsschritt: Zeige, dass wenn die Ungleichung für ein beliebiges, aber festes n gilt, sie auch für n+1 gilt. Dazu nimmt man an, dass die Ungleichung für n gilt und zeigt, dass sie dann auch für n+1 gilt. **